ARQUIMEDES (PARTE 2) CONTINUAÇÃO


Trabalhos matemáticos

Arquimedes usou o método da exaustão para aproximar o valor de π.
Embora seja popularmente mais conhecido como um inventor de dispositivos mecânicos, Arquimedes também fez importantes contribuições para o campo da matemática. Plutarco escreveu: "Ele colocou todo o seu afeto e ambição nessas especulações puras onde não há referência às necessidades vulgares da vida."[41]
Arquimedes foi capaz de usar infinitesimais de uma maneira que é semelhante ao moderno cálculo integral. Através de provas por contradição (reductio ad absurdum), ele encontrou respostas aproximadas para problemas diversos, especificando os limites entre os quais se encontrava a resposta correta. Esta técnica é conhecida como o método da exaustão, e ele empregou-o para aproximar o valor de π (pi). Ele conseguiu isso desenhando um polígono regular inscrito e outro circunscrito a um mesmo círculo. Aumentando-se o número de lados do polígono regular, ele se torna uma aproximação mais precisa de um círculo. Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou os comprimentos de seus lados e mostrou que o valor de π está entre 317 (aproximadamente 3,1429) e 31071 (aproximadamente 3,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416. Ele também mostrou que a área de um círculo é igual a π multiplicado pelo quadrado do raio do círculo. Em Sobre a Esfera e o Cilindro, além dos resultados principais, Arquimedes postulou que qualquer grandeza quando adicionada e ela mesma suficientes vezes excederá qualquer grandeza dada. Este é o axioma de Arquimedes dos números reais.[42]
Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes informa o valor da raiz quadrada de 3 como estando entre 265153 (aproximadamente 1,7320261) e 1351780 (aproximadamente 1,7320512). O valor real é de aproximadamente 1,7320508, portanto foi uma estimativa muito precisa. Ele apresentou o resultado sem dar qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo. Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar que ele estava: "...como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo de seu método de investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento com os seus resultados."[43]
Como mostrado por Arquimedes, a área do segmento parabólico na figura de cima é igual a 4/3 da do triângulo inscrito na figura de baixo.
Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 43 vezes a área do triângulo inscrito correspondente, como mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica infinita com a razão comum de 14:
\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;
Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é a soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas linhas secantes menores, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · cujo resultado é13.
Em O Contador de Areia, Arquimedes se dispôs a calcular o número de grãos de areia que o universo poderia conter. Ao fazê-lo, desafiou a ideia de que o número de grãos de areia era grande demais para ser contado. Ele escreveu: "Existem alguns, Rei Gelão (Gelão II, filho de Hierão II), que pensam que o número de grãos de areia é infinito em multitude; e eu me refiro a areia não só a que existe em Siracusa e no resto da Sicília, mas também a que é encontrada em qualquer região, seja habitada ou inabitada." Para resolver o problema, Arquimedes inventou uma forma de escrever números baseada na miríade. A palavra corresponde a palavra grega μυριάςmyriás, para o número 10 000. Propôs um sistema em que se utilizava uma potência de uma miríada elevada a um miríada (100 milhões) e concluiu que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo seria 8 vigintilhões, isto é, 8×1063.[44]

[editar]Escritos

As obras de Arquimedes foram escritas em grego dórico, o dialeto falado na antiga Siracusa.[45] As obras escritas de Arquimedes não foram conservadas tão bem quanto as de Euclides, e sabe-se da existência de sete de seus tratados apenas através de referências feitas a eles por outros autores. Pappus de Alexandria menciona Sobre a Construção de Esferas e outro trabalho sobre poliedros, ao passo que Téon de Alexandria cita uma observação sobre a refração proveniente do agora perdido Catoptrica.[b] Durante sua vida, Arquimedes tornou seu trabalho conhecido através de correspondências mantidas com matemáticos de Alexandria. Os escritos de Arquimedes foram coletados pelo arquiteto bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d.C.), ao passo que comentários escritos no século VI d.C. por Eutócio a respeito dos trabalhos de Arquimedes ajudaram a difundir seu trabalho a um público mais amplo. O trabalho de Arquimedes foi traduzido para o árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 d.C.), e para o latim porGerardo de Cremona (c. 1114–1187 d.C.). Durante o Renascimento, em 1544, o Editio Princeps (Primeira Edição) foi publicado em Basileia por Johann Herwagen, com as obras de Arquimedes em grego e latim.[46] Por volta do ano 1586 Galileu Galilei inventou uma balança hidrostática para a pesagem de metais no ar e na água, aparentemente inspirado no trabalho de Arquimedes.[47]

[editar]Obras sobreviventes

Conta-se que de seu estudo sobre as alavancas Arquimedes disse: Dê-me um ponto de apoio, e moverei o mundo.
No primeiro livro constam sete postulados e quinze proposições,[48] já no segundo livro constam dez proposições.[48] Neste trabalho Arquimedes explica a lei da alavanca, afirmando, "As magnitudes estão em equilíbrio a distâncias inversamente proporcionais a seus pesos."
Arquimedes usa os princípios derivados para calcular as áreas e os centros de gravidade de várias figuras geométricas, incluindotriângulosparalelogramos e parábolas.[49]
Trata-se de uma obra curta que consiste de apenas três proposições. Está escrita na forma de uma correspondência com Dositeu de Pelúsio, um aluno de Conon de Samos. Na Proposição II, Arquimedes mostra que o valor de π (pi) é maior que 22371 e menor que227. Este último valor foi usado como uma aproximação de π ao longo da Idade Média e ainda é usado quando um valor aproximado de π é suficiente. O método de retificação da circunferência é uma aplicação direta da segunda proposição, na qual o diâmetro é dividido em sete partes iguais e o comprimento da circunferência é aproximadamente igual a vinte e duas dessas partes.[50]
Neste trabalho constam 28 proposições. Também é destinado a Dositeu. O tratado define o que atualmente chama-se de espiral de Arquimedes. É o conjunto de pontos correspondentes a posições de um ponto movendo-se a velocidade constante sobre uma reta que gira sobre um ponto de origem fixo a velocidade angular constante. Equivalentemente, em coordenadas polares (r, θ) pode ser descrita pela equação
\, r=a+b\theta
com a e b números reais.[51] Este é um dos primeiros exemplos de uma curva mecânica (uma curva traçada por um ponto em movimento).
Neste tratado endereçado a Dositeu, Arquimedes obtém o resultado pelo qual ele mais se orgulhava, nomeadamente a relação entre uma esfera e um cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume é 43πr3 para a esfera, e 2πr3 para o cilindro. A área superficial é 4πr2 para a esfera, e 6πr2 para o cilindro (incluindo suas duas bases), onde r é o raio da esfera e do cilindro. A esfera tem um volume que é dois terços do volume do cilindro circunscrito. De forma similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área do cilindro circunscrito (incluindo as bases). A pedido do próprio Arquimedes, foram colocadas sobre sua tumba esculturas destas duas figuras geométricas.
Neste trabalho destinado a Dositeu constam 32 proposições. Nesse tratado Arquimedes calcula as áreas e volumes das seções de cones, esferas, e parabolóides.
Na primeira parte deste tratado, Arquimedes enuncia a lei dos fluidos em equilíbrio, e prova que a água adota uma forma esférica ao redor de um centro de gravidade. Isto pode ter sido uma tentativa de explicar a teoria de astrônomos gregos contemporâneos, como Erastótenes de que a Terra é redonda. Os fluidos descritos por Arquimedes não são auto-gravitacionais, uma vez que ele assume a existência de um ponto para o qual todas as coisas caem, a fim de obter a forma esférica.
Na segunda parte, ele calcula as posições de equilíbrio de seções de parabolóides. Isto foi provavelmente uma idealização das formas dos cascos dos navios.
princípio de Arquimedes da flutuabilidade aparece nesta obra, enunciado da seguinte forma: Qualquer corpo total ou parcialmente imerso em um fluido experimenta uma força para cima igual a, mas em sentido oposto, ao peso do fluido deslocado.
Neste trabalho destinado a Dositeu constam 24 proposições, Arquimedes prova através de dois métodos que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4/3 multiplicado pela área de um triângulo com a mesma base e a mesma altura. Ele alcança este resultado calculando o valor de uma série geométrica de infinitos termos com arazão 14.
Este é um quebra-cabeças de corte e montagem similar a um tangram, e o tratado descrevendo-o foi encontrado em forma mais completa no Palimpsesto de Arquimedes. Arquimedes calculou as áreas de 14 peças que podiam ser reunidas para formar um quadrado. Uma pesquisa publicada em 2003 por Reviel Netz da Universidade de Stanford, argumentou que Arquimedes estava tentando determinar de quantas maneiras as peças podiam ser reunidas na forma de um quadrado. Netz calculou que as peças podiam formar uma quadrado de 17.152 maneiras.[52] O número de disposições é reduzido a 536 quando se exclui as soluções que são equivalentes por rotação e reflexão.[53] O quebra-cabeças representa um exemplo de problema de combinatória antigo.
A origem do nome do puzzle não é clara, e foi sugerido que provém da palavra da língua grega antiga para a garganta ou esôfago, stómakhos (στόμαχος).[54] Ausônio refere-se ao puzzle como Ostomachion, uma palavra grega composta formada pelas raízes de ὀστέον (osteon, osso) e μάχη (machē – luta). O puzzle também é conhecido comoLoculus de Arquimedes ou como Caixa de Arquimedes.[55]
Esta obra foi descoberta em 1773 por Gotthold Ephraim Lessing em um manuscrito grego consistido de um poema de 44 linhas, na Biblioteca Herzog August, na Alemanha. É destinado a Erastótenes e aos matemáticos de Alexandria. Arquimedes desafia-os a contar o número de bovinos no rebanho do Sol resolvendo uma quantidade equações diofantinas simultâneas. Há uma versão mais difícil do problema em que algumas das respostas têm que ser números quadrados. Esta versão do problema foi resolvida pela primeira vez por A. Amthor[56] em 1880, e a resposta é um número bastante grande, aproximadamente 7,760271×10206544.[57]
Neste tratado, Arquimedes calcula o número de grãos de arena que caberiam no universo. Este livro menciona a teoria heliocêntrica do Sistema Solar proposta por Aristarco de Samos, como também ideias contemporâneas sobre o tamanho da Terra e a distância entre vários corpos celestes. Usando um sistema de números baseado em potências demiríade, Arquimedes conclui que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo é 8×1063 (em notação moderna). A introdução afirma que o pai de Arquimedes foi um astrônomo chamado Fídias. O Contador de Areia ou Psammites é a única obra sobrevivente de Arquimedes em que ele discute suas ideias sobre astronomia.[58]
Este tratado, que se considerava perdido, foi reencontrado graças a descoberta do Palimpsesto de Arquimedes em 1906. Nesta obra, Arquimedes emprega o cálculo infinitesimal, e mostra como o método de fracionar uma figura em um número infinito de partes infinitamente pequenas pode ser usado para calcular sua área e volume. Arquimedes talvez tenha considerado que este método carecia de suficiente rigor formal, pelo que utilizou também o método da exaustão para chegar aos mesmos resultados. Da mesma forma que O Problema BovinoO Método dos Teoremas Mecânicos foi escrito em forma de carta dirigida a Eratóstenes de Alexandria.

[editar]Obras apócrifas

Livro de Lemas ou Liber Assumptorum é um tratado com quinze proposições sobre a natureza dos círculos. A cópia mais antiga conhecida do texto está escrita em árabe. Os estudiosos Thomas Little Heath e Marshall Clagett argumentaram que ele não pode ter sido escrito por Arquimedes na sua forma atual, uma vez que ele cita Arquimedes, o que sugere que foi modificado por outro autor. Talvez o Lemas seja baseado em um uma obra mais antiga, agora perdida, escrita por Arquimedes.[59]
Também já foi afirmado que Arquimedes conhecia a fórmula de Heron usada para calcular a área de um triângulo sabendo-se as medidas de seus lados.[c] No entanto, a primeira referência confiável para a fórmula é dada por Heron de Alexandria no século I d.C.[60]

[editar]O Palimpsesto de Arquimedes

Stomachion é um quebra-cabeçasgeométrico encontrado no Palimpsesto de Arquimedes.
O Palimpsesto de Arquimedes é uma das principais fontes a partir das quais se conhece a obra de Arquimedes. Em 1906, o professordinamarquês Johan Ludvig Heiberg visitou Constantinopla e examinou um pergaminho de pele de cabra de 174 páginas com orações escritas no século XIII d.C. Ele descobriu que se tratava de um palimpsesto, um documento com texto que tinha sido escrito sobre um trabalho anterior apagado. Os palimpsestos eram criados pela raspagem da tinta de trabalhos existentes para reutilizar o material no qual ela estava impressa, o que era uma prática comum na Idade Média pois o papel velino era caro. As obras anteriores do palimpsesto foram identificadas por estudiosos como cópias do século X d.C. de tratados de Arquimedes previamente desconhecidos.[61] O pergaminho passou centenas de anos na biblioteca de um monastério em Constantinopla antes de ser vendido a um colecionador nadécada de 1920. Em 29 de outubro de 1998 ele foi vendido em um leilão para um comprador anônimo por dois milhões de dólares na casa de leilões Christie's, em Nova Iorque.[62] O palimpsesto contém sete tratados, incluindo a única cópia sobrevivente de Sobre os Corpos Flutuantes no original grego. É também a única fonte de O Método dos Teoremas Mecânicos, a que se referiu Téon Suidas e que pensava-se que tinha sido perdido para sempre. Stomachion também foi descoberto no palimpsesto, com uma análise mais completa do quebra-cabeças do que a que encontrava-se em textos anteriores. O palimpsesto está agora guardado no Museu de Arte Walters emBaltimoreEstados Unidos, onde foi submetido a uma série de testes modernos incluindo o uso de luz ultravioleta e raios X para ler o texto sobrescrito.[63]

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